Dowody algebraiczne

1️⃣ O co chodzi w zadaniach z resztą i podzielnością?

Musimy udowodnić, że dana liczba:

• jest podzielna przez jakąś liczbę, np. przez 6,
• lub daje określoną resztę, np. resztę 2 z dzielenia przez 5.

Robimy to, przekształcając wyrażenie i zapisując je w postaci:

$$\text{liczba} = n \cdot W(n) + r$$

gdzie:

• n to dzielnik,
• W(n) to jakieś wyrażenie zależne od n,
• r to reszta (jeśli nie ma reszty – to (r = 0)).

---

✏️ Przykład 1 – Reszta z dzielenia przez 5

Pokaż, że:

$$(3n + 5)^2 + 11n^2 - 18$$

daje resztę 2 przy dzieleniu przez 5.

Rozwiązanie:

1. Rozwijamy pierwszą część:

   $$(3n + 5)^2 = 9n^2 + 30n + 25$$

2. Dodajemy pozostałe składniki:

   $$9n^2 + 30n + 25 + 11n^2 - 18 = 20n^2 + 30n + 7$$

3. Teraz rozbijamy tę liczbę na:

   $$20n^2 + 30n + 7 = 5 \cdot (4n^2 + 6n) + 7$$

4. Liczba ma postać:

   $$5 \cdot W(n) + 7$$

5. Teraz jeszcze raz rozbijamy:

   $$7 = 5 \cdot 1 + 2$$

6. Ostatecznie:

   $$(3n + 5)^2 + 11n^2 - 18 = 5 \cdot (4n^2 + 6n + 1) + 2$$

Odpowiedź:
Liczba daje resztę 2 przy dzieleniu przez 5.

---

✏️ Przykład 2 – Podzielność przez 6

Udowodnij, że:

$$n(n^2 + 3n + 2)$$

jest podzielne przez 6 dla każdego n.

Rozwiązanie:

1. Rozkładamy na czynniki:

   $$n(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)$$

2. To są trzy kolejne liczby, więc:

   • jedna z nich jest podzielna przez 2,
   • jedna z nich jest podzielna przez 3.

3. Ich iloczyn jest podzielny przez:

   $$2 \cdot 3 = 6$$

4. Zatem ta liczba jest podzielna przez 6.

---

✏️ Przykład 3 – Podzielność przez 4 dla nieparzystych n

Pokaż, że:

$$3n^2 + 4n + 1$$

jest podzielne przez 4 dla każdej nieparzystej liczby n.

Rozwiązanie:

1. Skoro n jest nieparzyste, to:

$$n = 2k + 1$$

2. Podstawiamy do wyrażenia:

$$\begin{aligned} 3n^2 + 4n + 1 &= 3\left(2k + 1\right)^2 + 4\left(2k + 1\right) + 1 \\ &= 3\left(4k^2 + 4k + 1\right) + 8k + 4 + 1 \\ &= 12k^2 + 12k + 3 + 8k + 5 \\ &= 12k^2 + 20k + 8 \end{aligned}$$

3. Wyłączamy 4:

$$12k^2 + 20k + 8 = 4 \cdot \left(3k^2 + 5k + 2\right)$$

Odpowiedź:
Wyrażenie ma postać 4 * W(k), więc jest podzielne przez 4.

---

✏️ Przykład 4 - podzielność sumy potęg

Udowodnij, że:

$$3^{45} + 9^{22} + 27^{14}$$

jest podzielna przez 37.

Rozwiązanie:

1. Zamieniamy wszystko na potęgi liczby (3):

$$\begin{aligned} 9^{22} &= (3^2)^{22} = 3^{44} \\ 27^{14} &= (3^3)^{14} = 3^{42} \end{aligned}$$

2. Otrzymujemy:

$$3^{45} + 3^{44} + 3^{42}$$

3. Wyłączamy wspólny czynnik:

$$\begin{aligned} 3^{45} + 3^{44} + 3^{42} &= 3^{42}(3^3 + 3^2 + 1) \\ &= 3^{42}(27 + 9 + 1) \\ &= 3^{42} \cdot 37 \end{aligned}$$

4. Zatem ta liczba jest podzielna przez 37.