Logarytmy

1️⃣ Czym jest logarytm?

Logarytm to działanie, które pozwala znaleźć wykładnik, do którego trzeba podnieść daną liczbę (podstawę), aby otrzymać inną liczbę.

$$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$$

gdzie $a > 0$, $a \ne 1$ oraz $b > 0$.

Wzory podstawowe:

• $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
• $\log_a a = 1$
• $\log_a 1 = 0$

---

2️⃣ Metoda rozwiązania – krok po kroku

1. $\text{Zidentyfikuj podstawę i argument logarytmu.}$
2. $\text{Zastosuj znane wzory logarytmiczne.}$
3. $\text{Uprość wyrażenie, korzystając z własności potęg.}$
4. $\text{Oblicz wynik.}$

---

✏️ Przykład 1

Oblicz:

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right) + \log_2 4$$

Rozwiązanie:

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right) = \log_2 2^{-3} = -3$$ $$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$$ $$-3 + 2 = -1$$

Odpowiedź:

$$-1$$

---

✏️ Przykład 2

Oblicz:

$$\log_{25} 1 - \frac{1}{2} \log_{25} 5$$

Rozwiązanie:

$$\log_{25} 1 = 0$$ $$\log_{25} 5 = \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ $$0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$$

Odpowiedź:

$$-\frac{1}{4}$$

---

✏️ Przykład 3

Dane:

$$a = \log_2(3\sqrt{5} + \sqrt{13}), \quad b = \log_2(3\sqrt{5} - \sqrt{13})$$

Oblicz:

$$a + b$$

Rozwiązanie:

$$a + b = \log_2[(3\sqrt{5} + \sqrt{13})(3\sqrt{5} - \sqrt{13})]$$ $$= \log_2(45 - 13) = \log_2 32 = 5$$

Odpowiedź:

$$5$$

---

✏️ Przykład 4

Uprość wyrażenie:

$$\log_7 x + 6 \log_7 y$$

Rozwiązanie:

$$6 \log_7 y = \log_7 y^6$$ $$\log_7 x + \log_7 y^6 = \log_7(x \cdot y^6)$$

Odpowiedź:

$$\log_7(x \cdot y^6)$$

---