Potęgi i pierwiastki

1️⃣ Czym są potęgi i pierwiastki?

Potęgowanie i pierwiastkowanie to podstawowe działania na liczbach rzeczywistych:

• $a^n$ oznacza mnożenie liczby $a$ przez siebie $n$ razy.
• $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ to pierwiastek stopnia $n$ z liczby $a$.
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ – potęga o wykładniku ujemnym.

Wzory, które warto znać:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

---

2️⃣ Metoda rozwiązania – krok po kroku

1. Zamień pierwiastki na potęgi ułamkowe, jeśli to możliwe.
2. Stosuj wzory skracania i łączenia potęg, np. dodawanie wykładników.
3. Uważaj na znaki – wykładniki ujemne i liczby pod pierwiastkami.
4. Upraszczenie wyrażenia to najczęstsza forma odpowiedzi.

---

✏️ Przykład 1 – Potęga o wykładniku ujemnym

Upraszczamy:
$\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}$

Rozwiązanie:
Zastosuj wzór na dzielenie potęg o tej samej podstawie:
$a^{-2{,}6 - 1{,}3} = a^{-3{,}9}$

---

✏️ Przykład 2 – Skracanie wyrażeń z liczbami

Upraszczamy:
$\frac{4^5 \cdot 5^4}{20^4}$

Rozwiązanie:
Zapisz: $20^4 = (4 \cdot 5)^4 = 4^4 \cdot 5^4$
Teraz skróć:
$\frac{4^5 \cdot 5^4}{4^4 \cdot 5^4} = 4^{5-4} = 4$

---

✏️ Przykład 3 – Działania na pierwiastkach

Upraszczamy:
$\sqrt{\frac{9}{7}} + \sqrt{\frac{7}{9}}$

Rozwiązanie:
Oblicz każdy składnik osobno:

• $\sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$
• $\sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Dodaj te dwie liczby:
$\frac{3}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}}{3}$ – nie da się już bardziej uprościć bez wspólnego mianownika.

---

✏️ Przykład 4 – Potęgi o różnych podstawach

Upraszczamy:
$\frac{9^5 \cdot 5^9}{45^5}$

Rozwiązanie:
Zapisz $9 = 3^2$ i $45 = 3^2 \cdot 5$, czyli:

• $9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$
• $45^5 = (3^2 \cdot 5)^5 = 3^{10} \cdot 5^5$

Zatem:
$\frac{3^{10} \cdot 5^9}{3^{10} \cdot 5^5} = \frac{5^9}{5^5} = 5^{4}$

---