Wartość bezwzględna

1️⃣ Czym jest wartość bezwzględna?

Wartość bezwzględna z liczby $x$ to jej odległość od zera na osi liczbowej:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{gdy } x \ge 0, \\ -x, & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$$

Własności:

• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
• $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$
• $|a + b| \le |a| + |b| \quad \text{(nierówność trójkąta)}$

---

2️⃣ Metoda rozwiązania – krok po kroku

1. $\text{Rozbij przypadki, w których wyrażenie pod modułem zmienia znak.}$
2. $\text{Zdejmij wartość bezwzględną odpowiednio do warunku.}$
3. $\text{Rozwiąż każdy przypadek osobno, z uwzględnieniem dziedziny.}$
4. $\text{Zbierz wszystkie rozwiązania i sprawdź ich poprawność.}$

---

✏️ Przykład 1

Oblicz wartość wyrażenia:

$$|\sqrt{5} - 1| - 3|2 - \sqrt{5}|$$

Rozwiązanie:

• $\sqrt{5} \approx 2{,}236 \Rightarrow \sqrt{5} - 1 > 0 \Rightarrow |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$
• $2 - \sqrt{5} < 0 \Rightarrow |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$

Podstawiamy:

$$\sqrt{5} - 1 - 3(\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} - 1 - 3\sqrt{5} + 6 = -2\sqrt{5} + 5$$

Odpowiedź:

$$5 - 2\sqrt{5}$$

---

✏️ Przykład 2

Rozwiąż równanie:

$$|x + 4| = 7$$

Rozwiązanie:

1. $x + 4 = 7 \Rightarrow x = 3$
2. $x + 4 = -7 \Rightarrow x = -11$

Suma rozwiązań:

$$3 + (-11) = -8$$

Odpowiedź:

$$-8$$

---

✏️ Przykład 3

Oblicz wartość wyrażenia dla $x \in (3,\; +\infty)$:

$$|3 - x| - |x + 4|$$

Rozwiązanie:

• $3 - x < 0 \Rightarrow |3 - x| = x - 3$
• $x + 4 > 0 \Rightarrow |x + 4| = x + 4$

Podstawiamy:

$$(x - 3) - (x + 4) = -7$$

Odpowiedź:

$$-7$$

---

✏️ Przykład 4

Dla każdej $x \in (-3,\; 0)$ oblicz:

$$\frac{|x + 3| - x + 3}{x}$$

Rozwiązanie:

• $x + 3 > 0 \Rightarrow |x + 3| = x + 3$

Zatem licznik:

$$(x + 3) - x + 3 = 6$$

Wynik:

$$\frac{6}{x}$$

Odpowiedź:

$$\frac{6}{x}$$

---